Войти

Авторизация

Имя пользователя
Пароль *
Запомнить меня

Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №9 "Рациональные уравнения. Уравнения высших степеней"

Урок 9. Рациональные уравнения. Уравнения высших степеней

 

Понятие ОДЗ

 

Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
В частности знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому значения переменных, при которых знаменатель равен нулю, недопустимы – не входят в ОДЗ
Пример: найти ОДЗ выражения (2x+1)/{(x-3)}+(x+65)/{(3x+9)}.
Решение: знаменатели обеих дробей не могут быть равны нулю, имеем систему:

c-9-2
Ответ: x≠±3.

 

Решение уравнений вида f(x)*g(x)=0

 

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю, а остальные при этом существуют. Поэтому уравнение вида f(x)*g(x)=0 заменяется совокупностью уравнений:

c-9-6
Пример: решить уравнение (2x+5)(1-x)=0.
Решение: c-9-8
Ответ: -2,5;1.

 

Решение уравнений вида f(x)/{g(x)} =0

 

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Поэтому уравнения вида f(x)/{g(x)} =0 заменяются совокупностью: c-9-12
Пример: решить уравнение (x^2-5x+6)/{(x^2-x-2)}=0.
Решение: c-9-14

Корни квадратных уравнений определяем по теореме Виета: c-9-15.
Ответ: 3.

 

Уравнения высших степеней. Метод замены переменных

 

Если в уравнении содержится переменная, степень которой выше 2, то такое уравнение называется уравнением высшей степени. Для решения уравнений высших степеней существует несколько наиболее распространенных методов:
1) Метод замены переменных;
2) Подбора корней;
3) Разложения на множители.
Метод замены переменных
Пример: решить уравнение (x^2-6)^2+2(x^2-6)-15=0
Решение: очевидна замена переменных: x^2-6=t.
Получается уравнение: t^2+2t-15=0. Согласно теореме Виета его корни:t_1=3;t_2=-5

В исходных переменных:c-9-21
Ответ: ±1; ±3.

 

Пример: решить уравнение (x+2)(x-3)(2x+15)(2x+5)=-600.
Решение: нужно сгруппировать крайние и средние скобки: ((x+2)(2x+5))((x-3)(2x+15))=-600(2x^2+9x+10)(2x^2+9x-45)=-600.
Можно заметить, что удобна замена: 2x^2+9x=t, тогда получим уравнение (t+10)(t-45)=-600t^2-35t-450=-600t^2-35t+150=0. Согласно теореме Виета корни уравнения: t_1=30,t_2=5.
В исходных переменных:c-9-28
Дискриминанты уравнений: D_1=81+240=321;D_2=81+40=121.

Корни первого уравнения: c-9-30.

Корни второго уравнения: x=(-9-11)/4=-5;x=(-9+11)/4=0,5.
Ответ: c-9-32.
Замечание: метод подбора корней интуитивно понятен, а метод разложения на множители не требует примеров, т.к. разложение выражений на множители и решение уравнений вида f(x)*g(x)=0 уже изучалось.

 

Биквадратные уравнения

 

Уравнение вида ax^4+bx^2+c=0 называется биквадратным. Такие уравнения решаются приведением к квадратному уравнению с помощью замены вида y=x^2.
Пример: решить уравнение 3x^4+4x^2-32=0.
Решение: согласно правилу выполним замену  x^2=t, тогда: 3t^2+4t-32=0,D=16+384=400;x_1=(-4-20)/6=-4;x_2=(-4+20)/6=8/3.
В исходных переменных: c-9-38. Первое уравнение не имеет смысла, второе уравнение имеет два корня c-9-39.
Ответ: c-9-40.

 Тесты подготовки к ЗНО:

Онлайн-тест подготовки к ЗНО по математике №9 "Рациональные уравнения. Уравнения высших степеней"    

Новости

Колектив Освітнього порталу "Внешколы" щиро вітає усіх освітян з Днем учителя! Шановні учителі, дякуємо Вам за вашу важливу і складну...
С праздником Первого сентября, Днем знаний!Уважаемые ученики, абитуриенты, учителя, преподаватели и все-все, кто стремится к знаниям, мы желаем Вам успехов...

Топ-10

Постмайданное образование Вот уже в четвёртый раз мы составляем рейтинг школ Харькова по результатам сдачи внешнего независимого оценивания (ВНО или...

© 2013-2016, All rights reserved. Образовательный портал "ВнеШколы"