Войти

Авторизация

Имя пользователя
Пароль *
Запомнить меня

Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №8 "Линейные уравнения. Квадратные уравнения"

Урок 8. Линейные уравнения. Квадратные уравнения

 

Равенства и их свойства, уравнение с одной переменной

 

Свойства равенств:
1) К обеим частям равенства можно прибавить или отнять любое численное выражение, имеющее смысл, при этом равенство не изменится: A+a=B+a;
2) Обе части равенства можно умножить или разделить (кроме нуля) на любое численное выражение, имеющее смысл, при этом равенство не изменится: A*a=B*a;
3) Обе части равенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень, при этом равенство не изменится: A^{(2a+1)}=B^{(2a+1)};
4) Обе части равенства (если они обе положительны) можно возвести в одну и ту же четную степень, при этом равенство не изменится: A^{2a}=B^{2a}.
Равенство, содержащее одну переменную (f(x)=g(x)), называется уравнением с одной переменной. Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором выражение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются равносильными.
Равносильные преобразования уравнений:
В уравнении можно перенести любое слагаемое из одной части в другую, сменив его знак на противоположный: 2x+x^2=72x+x^2-7=0;
Обе части уравнения можно умножить или разделить на любое отличное от нуля число: x/5=1x=5.

 

Линейные уравнения

 

Уравнение вида ax=b и все, которые к нему сводятся, называются линейными уравнениями с одной переменной. Здесь a,b – произвольные действительные числа, x – переменная; коэффициент a называют коэффициентом при переменной, коэффициент b – свободным членом.
Линейное уравнение может содержать множество подобных слагаемых, в таком случае его сначала необходимо свести к простейшему виду, а затем решить.
При решении линейных уравнений есть три случая:
1) a≠0: в таком случае уравнение имеет единственный корень x=b/a;
2) a=0,b=0: в этом случае уравнение превращается в равенство 0*x=0, что верно при любом действительном x, поэтому имеет бесчисленное множество решений;
3)a=0,b≠0: в этом случае имеем равенство 0*x0, что неверно ни при каком значении x и уравнение не имеет решений.
Пример: решить уравнение 7x+6=3-2x7x+2x=3-69x=-3x=-3/9=-1/3.

 

Уравнения, которые сводятся к линейным

 

Пример: решить уравнение (3x+5)/2=(1-x)/5.
Решение: {(3x+5)}/2={(1-x)}/55*(3x+5)=2*(1-x)15x+25=2-2x15x+2x=2-2517x=-23x=-23/17.

Ответ: -23/17.
Пример: решить уравнение (x+1)(7x-3)-(3x+5)(x+2)=(2x-1)(2x+1).
Решение: (x+1)(7x-3)-(3x+5)(x+2)=(2x-1)(2x+1)7x^2+7x-3x-3-(3x^2+6x+5x+10)=4x^2-17x^2+4x-3-3x^2-11x-10=4x^2-14x^2-4x^2-7x=13-1

-7x=12x=-12/7.
Ответ: -12/7.

 

Неполные квадратные уравнения

 

Уравнение вида ax^2+bx+c=0 называется квадратным. Здесь a,b,c – действительные числа, x – переменная.
Квадратное уравнение может быть неполным, если один из коэффициентов b,c равен нулю, или оба они равны нулю: ax^2+bx=0; ax^2=-c; ax^2=0.
Решение неполных квадратных уравнений:
ax^2+bx=0
Нужно разложить левую часть на множители: x(ax+b)=0. Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют: c-8-32

ax^2=-c.
Разделим уравнение на коэффициент при x^2:x^2=-c/a. Согласно свойствам квадратичной функции, левая часть может принимать только неотрицательные значения, поэтому: c-8-36
ax^2=0.
Данное уравнение имеет единственное решение x=0. Обратим внимание, что коэффициент a мы считаем ненулевым.
Пример: решить уравнение 3x^2-2x=0.
Решение:

c-8-40
Ответ: 0; 2/3.

 

Дискриминант

 

Для поиска корней полного квадратного уравнения введено понятие дискриминанта. Это выражение вида: D=b^2-4ac, где a,b,c – коэффициенты квадратного уравнения.
В зависимости от значения дискриминанта можно выяснить наличие корней у квадратного уравнения:
1) D>0: уравнение имеет два различных корня, которые определяются по формуле c-8-44.

Отметим, что если коэффициент b кратен четырем, имеет место формула:

c-8-45.
2) D=0: уравнение имеет два совпадающих корня, но принято говорить – уравнение имеет один корень x=-b/{2a}.
3) D<0: уравнение не имеет корней.
Пример: решить уравнение 5x^2+3x-2=0.
Решение: Находим дискриминант: D=9+40=49. Дискриминант положителен – уравнение имеет два корня: 

c-8-51
Ответ: -1;0,4.

 

Теорема Виета

 

Пусть задано произвольное квадратное уравнение: ax^2+bx+c=0 
Прямая теорема Виета – сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
c-8-53
Обратная теорема Виета – если верно, что c-8-54, то x_1 и x_2 являются корнями квадратного уравнения: ax^2+bx+c=0.
Замечание: все квадратные уравнения можно решать с использованием дискриминанта, другие способы применяются из соображений ускорения процесса решения.
Пример: найти корни уравнения, не решая его: x^2+4x-12=0.
Решение: согласно прямой теореме Виета: c-8-58. Методом подбора определяем: x_1=2, x_2=-6.
Ответ: 2;-6.

 

Разложение квадратного трехчлена на множители

 

Если квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет корни x_1 и x_2, то квадратный трехчлен ax^2+bx+c раскладывается на множители следующим образом:
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
Пример: разложить на множители x^2+x-6.
Решение: рассмотрим квадратное уравнение: x^2+x-6=0. Согласно теореме Виета его корни: x_1=2,x_2=-3. Тогда имеем разложение: x^2+x-6=(x-2)(x+3).
Ответ: (x-2)(x+3).

 

Тесты подготовки к ЗНО:

Онлайн-тест подготовки к ЗНО по математике №8 "Линейные уравнения. Квадратные уравнения" 

 

Новости

Колектив Освітнього порталу "Внешколы" щиро вітає усіх освітян з Днем учителя! Шановні учителі, дякуємо Вам за вашу важливу і складну...
С праздником Первого сентября, Днем знаний!Уважаемые ученики, абитуриенты, учителя, преподаватели и все-все, кто стремится к знаниям, мы желаем Вам успехов...

Топ-10

Постмайданное образование Вот уже в четвёртый раз мы составляем рейтинг школ Харькова по результатам сдачи внешнего независимого оценивания (ВНО или...

© 2013-2016, All rights reserved. Образовательный портал "ВнеШколы"