Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №30 "Функции"

Урок 30. Функции

Тригонометрические функции

1. Функция синус

 – график функции синусоида.

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция имеет период ;
г) Функция нечетная: ;
д) На интервале  функция монотонно возрастает, на интервале  – монотонно убывает и так далее с учетом периодичности. На всей области определения функция не монотонна;
е) Функция непрерывна.

2. Функция косинус
 – график функции синусоида, сдвинутая на  влево относительно оси ординат.

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция имеет период ;
г) Функция четная: ;
д) На интервале  функция монотонно убывает, на интервале ( – монотонно возрастает и так далее с учетом периодичности. На всей области определения функция не монотонна;
е) Функция непрерывна.

3. Функция тангенс

Свойства:
а) Область определения:  кроме , где ;
б) Область значений: ;
в) Функция имеет период ;
г) Функция нечетная: ;
д) На интервале  функция монотонно возрастает и так далее с учетом периодичности. На всей области определения функция не монотонна;
е) Функция имеет разрывы и вертикальные асимптоты .

4. Функция котангенс

Свойства:
а) Область определения:  кроме , где ;
б) Область значений: ;
в) Функция имеет период ;
г) Функция нечетная: ;
д) На интервале  функция монотонно убывает и так далее с учетом периодичности. На всей области определения функция не монотонна;
е) Функция имеет разрывы и вертикальные асимптоты .

Обратные тригонометрические функции

1. Функция арксинус

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция нечетная: ;
д) Функция монотонно возрастает на всей области определения;
е) Функция непрерывна.

2. Функция арккосинус

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция общего вида;
д) Функция монотонно убывает на всей области определения;
е) Функция непрерывна.

3. Функция арктангенс

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция нечетная: ;
д) Функция монотонно возрастает на всей области определения;
е) Функция непрерывна.

4. Функция арккотангенс

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция общего вида;
д) Функция монотонно убывает на всей области определения;
е) Функция непрерывна.

Показательная функция

В данном случае необходимо рассматривать два случая.
1. Основание степени больше единицы: .

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция общего вида;
д) Функция монотонно возрастает на всей области определения и имеет горизонтальную асимптоту ;
е) Функция непрерывна.
2. Основание степени меньше единицы: .

Свойства:

а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция общего вида;
д) Функция монотонно убывает на всей области определения и имеет горизонтальную асимптоту ;
е) Функция непрерывна.

Логарифмическая функция

Здесь также необходимо рассматривать два случая.
1. Основание логарифма больше единицы: .

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция общего вида;
д) Функция монотонно возрастает на всей области определения и имеет вертикальную асимптоту ;
е) Функция непрерывна.
2. Основание логарифма меньше единицы: .

Свойства:
а) Область определения: ;
б) Область значений: ;
в) Функция не периодичная;
г) Функция общего вида;
д) Функция монотонно убывает на всей области определения и имеет вертикальную асимптоту ;
е) Функция непрерывна.

Преобразование графиков функций

Выше были представлены графики некоторых простейших функций. Также ранее мы уже изучали графики линейной, квадратичной и др. функций (см. конспект №10). Графики большинства более сложных функций можно получить, преобразовывая известные графики простейших функций.
Рассмотрим ряд правил преобразования графиков функций.

Преобразование	Пример
: график получается путем сдвига графика функции  на a единиц вверх (при «+») или вниз (при «-»)
: график получается путем сдвига графика функции  на a единиц влево (при «+») или вправо (при «-»)
: график получается путем сжатия () или растяжения () графика функции  в a раз относительно оси ординат
: график получается путем растяжения () или сжатия () графика функции  в a раз относительно оси абсцисс
: график получается путем симметричного отображения графика функции  относительно оси ординат
: график получается путем симметричного отображения графика функции  относительно оси абсцисс
: график получается путем добавления симметричного отображения части графика функции , которая построена при , относительно оси ординат и отбрасывания части графика функции, которая построена при
: график получается путем симметричного отображения отрицательной части графика функции  относительно оси абсцисс, при этом положительная часть графика остается без изменений