Войти

Авторизация

Имя пользователя
Пароль *
Запомнить меня

Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №29 Функции

Урок 29. Функции

 

Понятие функциональной зависимости


Функциональная зависимость устанавливает правило, согласно которому по значению независимой переменной – аргумента, можно найти значение зависимой переменной – функции. Слово функция употребляют в двух значениях: это и сама функциональная зависимость, и зависимая переменная.
Самое главное требование к функциональной зависимости: единственность от аргумента к функции. Это означает, что каждому значению аргумента может соответствовать единственное значение функции, в то время как одному значению функции может соответствовать сколь угодно много значений аргумента.
Функция - это закон соответствия между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует только одно определенное значение другой величины y (функции или зависимой переменной).
Основные способы задания числовых функций:
1. Аналитический способ – задание функции с помощью формулы.
Обозначать в общем виде такую формулу принято обычно как con-29-1, где под x понимают аргумент, а под y значение функции.
2. Табличный способ – задание функции с помощью таблицы связанных друг с другом значений.
3. Графический способ – задание функции с помощью изображения точек в системе координат, когда одной координате точек поставлена в однозначное соответствие другая ее координата.

 

Область определения и область значений

 

Область определения функции – это множество значений аргумента, для которых функция имеет смысл. Иными словами, это допустимые значения икса. Это множество принято обозначать D или D(x).
Если функция задана аналитически, как это чаще всего бывает, то в таком случае удобнее всего сначала найти те значения аргумента, при которых функция не имеет смысла, и исключить их из множества действительных чисел.
Основные случаи, в которых необходимо искать не имеющие смысла для функции аргументы:
1. Наличие в функции деления на выражение, содержащее неизвестную. В таком случае исключаются те аргументы, при которых возникает деление на ноль.
2. Присутствие в функции корня четной степени из выражения, содержащего неизвестную. При этом необходимо исключить аргументы, при которых подкоренное выражение отрицательно, в таком случае удобно сразу накладывать условие, что подкоренное выражение больше или равно нулю.
3. Наличие в функции логарифмов, содержащих неизвестные выражения. В общем виде это можно записать так: если функция содержит con-29-6, где g(x) и h(x) - это выражения, содержащие неизвестную, то областью определения будет решение системы неравенств
con-29-9.
Область значений функции – это множество значений функции, которые она принимает в своей области определения. Т.е. в стандартной записи функции это значения ее игрека. Множество значений функции принято обозначать E или E(y).
Задания на поиск области значений функции в ВНО встречаются достаточно редко.

 

Понятия четности и монотонности

 

Функция называется четной, если для всех значений аргумента верно следующее –при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так con-29-12.
График такой функции симметричен относительно оси 0y.
Пример: con-29-14. con-29-15 – функция четная.
Функция называется нечетной, если для всех значений аргумента верно следующее – при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так con-29-016.
График такой функции симметричен относительно начала координат.
Пример: con-29-017. con-29-18 – функция нечетная.
Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида. У таких функций нет симметрии относительно оси 0y и начала координат.
Важным свойством функции является ее монотонность. Выделяют следующие виды монотонности функций:
1. Функция f(x) возрастает, если на некотором интервале, если для любых двух точек con-29-20 и con-29-21 этого интервала таких, что con-29-22 выполнено, что con-29-23. Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
2. Функция f(x) убывает, если на некотором интервале, если для любых двух точек con-29-20 и con-29-21 этого интервала таких, что con-29-22 выполнено, что con-29-24. Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
con-29-25
3. Функция f(x) неубывает, если на некотором интервале, если для любых двух точек con-29-20 и con-29-21 этого интервала таких, что con-29-22 выполнено, что con-29-26;

4. Функция f(x) невозрастает, если на некотором интервале, если для любых двух точек con-29-20 и con-29-21 этого интервала таких, что con-29-22 выполнено, что con-29-27.
con-29-28
Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».
Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций.
Пример: Функция con-29-29 монотонно убывает при con-29-30 и монотонно возрастает при con-29-31.

 

Обратные функции


Если функция con-29-1 достигает каждого своего значения в единственной точке ее области определения, то можно задать функцию con-29-33, которая называется обратной к функции con-29-1. Причем, для каждого a из области определения f, если con-29-36, то con-29-37. Функции f и g называются взаимнообратными.
График обратной функции симметричен графику прямой функции относительно прямой con-29-39.

 

Периодические функции

 

Функция con-29-40 называется периодической с периодом con-29-41, если для любого x верно: если функция определена в одной из точек x или con-29-42, то она определена и во второй точке, а значения функции в обеих точках равны, то есть con-29-43.
Число T называется периодом функции.
Все тригонометрические функции являются периодическими.

con-29-45

Понятие ГМТ


Графическое изображение однозначной функции называют построением графика функции, а изображение многозначной функции – построением геометрического места точек или ГМТ.
Пример: Графическое изображение уравнения con-29-46 будет ГМТ, а конкретно изображением окружности:

con-29-47

Новости

Колектив Освітнього порталу "Внешколы" щиро вітає усіх освітян з Днем учителя! Шановні учителі, дякуємо Вам за вашу важливу і складну...
С праздником Первого сентября, Днем знаний!Уважаемые ученики, абитуриенты, учителя, преподаватели и все-все, кто стремится к знаниям, мы желаем Вам успехов...

Топ-10

Постмайданное образование Вот уже в четвёртый раз мы составляем рейтинг школ Харькова по результатам сдачи внешнего независимого оценивания (ВНО или...

© 2013-2016, All rights reserved. Образовательный портал "ВнеШколы"