Войти

Авторизация

Имя пользователя
Пароль *
Запомнить меня

Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №21-22 "Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства"

Конспект 21-22. Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

Логарифмом числа b по основанию a (21-22-m-1) называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b:
21-22-m-2, если 21-22-m-3, ОДЗ: a,b>0, a≠1.
Для удобства приняты сокращенные обозначения логарифмов, которые часто встречаются в разных областях науки:
1) Натуральным логарифмом (ln a) называют логарифм по основанию e≈2,7 – число Непера.
2) Десятичным логарифмом (lg a) называют логарифм по основанию 10.
Основное логарифмическое тождество: 21-22-m-4.
Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число a, получим число b.

Свойства логарифмов

При условии, что a,b,c>0,a≠1:

1)21-22-m-5;

2) 21-22-m-6;

3) 21-22-m-7 – логарифм произведения равен сумме логарифмов;

4) 21-22-m-8 – логарифм частного равен разности логарифмов;

5) 21-22-m-9;

6) 21-22-m-10;

7) 21-22-m-11;

8) 21-22-m-12 , c≠1 – переход к новому основанию логарифма;

9) 21-22-m-13 , b≠1.

Преобразование выражений, содержащих логарифмы

Пример: Вычислить 21-22-m-14.
Пример: Вычислить 21-22-m-15.
Пример: Вычислить21-22-m-16, если 21-22-m-17.
Решение: 21-22-m-18.
Теперь рассмотрим то, что дано по условию:

21-22-m-19.
Подставим это в исходное преобразованное выражение: 21-22-m-20.
Ответ: 21-22-m-21.

Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:
1) 21-22-m-22, что соответствует простейшему уравнению f(x)=g(x) с учетом ОДЗ логарифмической функции;
2) 21-22-m-23, что решается по определению логарифма.
Логарифмическое уравнение любой сложности нужно преобразовать до простейшего.
При решении уравнений можно проверять полученные корни по ОДЗ либо выполнять подстановку.
1) Простейшие уравнения вида 21-22-m-23 решаются по определению.
Пример: Решить 21-22-m-24.
Решение: 21-22-m-25. Выполним подстановку 21-22-m-26 – верное тождество.
Ответ: 21-22-m-27.

 

2) Уравнения вида 21-22-m-22.
Пример: Решить 21-22-m-28.
Решение: 21-22-m-29. Подстановка 21-22-m-30 – верное тождество.
Ответ: 6.

3) Уравнения вида 21-22-m-31 преобразовываются согласно свойствам 3 и 4.
Пример: Решить 21-22-m-32.
Решение:

21-22-m-33.

Подстановка 21-22-m-34 – верное тождество.
Ответ: 1.

 

4) Метод замены переменных. Логарифмические уравнения могут сводиться, например, к квадратным путем замены переменных
Пример: Решить 21-22-m-35.
Решение: 21-22-m-36. Удобно ввести замену: 21-22-m-37, тогда: 21-22-m-38. В исходных переменных:21-22-m-39. Подстановка 21-22-m-40 – верное тождество, 21-22-m-41 – верное тождество.
Ответ: 7;49.

Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:
1) 21-22-m-42. Здесь нужно рассматривать два случая – аналогично показательным неравенствам. Если основание логарифма больше единицы – логарифмическому неравенству ставится в соответствие простейшее неравенство вида f(x)>(<;≥;≤)g(x), причем знак исходного неравенства сохраняется. Если основание логарифма меньше единицы, то получаем неравенство f(x)<(>;≤;≥)g(x), т.е. знак исходного неравенства меняется на противоположный.
Частью решения неравенства является запись ОДЗ логарифмов, которые в него входят.
2) logf(x)>(<;≥;≤) b. Оно решается по определению логарифма с проверкой знака неравенства по аналогии с предыдущим пунктом.
Как и в предыдущем случае частью решения неравенства является запись ОДЗ логарифмов.

Логарифмическое неравенство любой сложности нужно преобразовать до простейшего. Основные типы и методы преобразования логарифмических неравенств аналогичны логарифмическим уравнениям.
Пример: Решить неравенство 21-22-m-43.
Решение: Выпишем ОДЗ логарифмов 21-22-m-44.

Перейдем к решению

 21-22-m-45

(автоматически выполнено ОДЗ [2]) 21-22-m-46 (автоматически выполнено ОДЗ [1]).
Осталось решить неравенство из ОДЗ [3] и проверить влияет ли оно на решение. 21-22-m-47.
Объединяем решение ОДЗ с первичным решением неравенства 21-22-m-48. Как видим, ОДЗ повлияло на итоговое решение.
Ответ: x [2;4).

Новости

Колектив Освітнього порталу "Внешколы" щиро вітає усіх освітян з Днем учителя! Шановні учителі, дякуємо Вам за вашу важливу і складну...
С праздником Первого сентября, Днем знаний!Уважаемые ученики, абитуриенты, учителя, преподаватели и все-все, кто стремится к знаниям, мы желаем Вам успехов...

Топ-10

Постмайданное образование Вот уже в четвёртый раз мы составляем рейтинг школ Харькова по результатам сдачи внешнего независимого оценивания (ВНО или...

© 2013-2016, All rights reserved. Образовательный портал "ВнеШколы"