Деякі питання математичного більярду та суміжні задачі

Анотація

Назва: Деякі питання математичного більярду та суміжні задачи

Автор: Гребенюк Юрій Валерійович

Відділення: Фізико-математичне

Секція: Прикладна математика

Рік: 2005

Керівники: Ліфиць Сергій Олександрович, вчитель математики ФМЛ № 27 м. Харкова, заслужений вчитель України

Рецензент: Іщук В.М., заввідділом Інститута монокристалів НАН України, доктор фізико-математичних наук

Результат: 2 місце на Всеукраїнському етапі

Школа: ФМЛ № 27

Клас: 11

Тези:

Данная работа посвящена некоторым задачам и теоремам, относящимся к так называемым бильярдным системам. Методы исследования бильярдных систем, с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой – лежат на стыке отраслей современной математики – теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.
Многие из излагаемых в работе результатов являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Якоби. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Её основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой.
Математическая проблема бильярда (или проблема траекторий) состоит в том, чтобы найти ответ на вопрос: какой может быть траектория движения по горизонтальному столу без луз точечного шарика, абсолютно упруго отражающегося от бортов? При этом шар движется без трения. В математическом бильярде выполняется закон: после удара шара о борт шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если борт криволинейный, то углы падения и отражения – это углы, составленные «падающим» и «отражённым» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной к точке касания.
Работа состоит из двух разделов. В первом из них рассмотрены общие положения теории математического бильярда, виды траекторий и их свойства. В первом разделе также рассмотрены некоторые вопросы теории кругового бильярда, в которых рассматривается критерий периодичности и непериодичности бильярдных траекторий и задача о всюду плотности траектории в круге и в концентрическом кольце. Данные вопросы связаны с теоремой Якоби, утверждающей, что если - несоизмеримое с число, а Р множество точек окружности таких, что каждая следующая точка получается из предыдущей поворотом около центра на радиан, то для любой дуги окружности найдётся хотя бы одна точка множества Р, лежащая на этой дуге. Теорема Якоби и её следствия более подробно рассмотрены в приложении.
Во втором разделе рассмотрена теорема Кронекера о всюду плотности в R множества для произвольного иррационального числа и её связь с теоремами для математического бильярда и с теоремой Якоби. Также во втором разделе рассмотрены примеры моделирования с помощью бильярда степеней различных чисел, а также решение с его помощью различных задач, относящихся к теории чисел.

Скачать бесплатно пример МАНовской работы