Онлайн-урок №9 "Метод интервалов при решении неравенств. Уравнения и неравенства с модулем."

Решение уравнений, содержащих неизвестную под модулем

Уравнения, в которых переменная стоит под знаком модуля и такой модуль один, в простейшем случае сводятся к уравнениям вида , где a – действительное число. Если , то решений нет, если , то решение подобного уравнения:

Пример: .
Решение:

Ответ: -2;8.
Также уравнение с одним модулем может иметь вид . Решение такого уравнения аналогично.
Пример: 
Решение:

Объединив решение с ограничением на правую часть уравнения, получаем

 
Ответ: .
При решении уравнений с несколькими модулями вида нужно придерживаться алгоритма:
Определить нули подмодульных выражений, решив уравнения:  и т.д.;
Разбить множество значений аргумента на интервалы определенными в п.1 нулями;
Определить знаки подмодульных выражений на каждом интервале;
Рассмотреть решение уравнения на каждом интервале отдельно, раскрыв модули с учетом знаков подмодульных выражений.
Пример: . 
Решение: 1. Определяем нули:  
2. Множество значений аргумента разбито на интервалы: . 
3. Определяем знаки подмодульных выражений:

4. Рассмотрим решение уравнения для трех случаев.

При : . Найденный корень не входит в рассматриваемый интервал. 
При :  Найденный корень не входит в рассматриваемый интервал. 
При : . Найденный корень не входит в рассматриваемый интервал. Таким образом, рассматриваемое уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

Системы линейных уравнений

Система вида  называется системой линейных уравнений с двумя переменными, здесь  – действительные числа. Решить систему означает найти все пары значений , которые обращают в верные численные равенства сразу оба уравнения системы, или доказать, что их нет. Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.
1. Метод подстановки.

Заключается в том, что в одном из уравнений системы нужно выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение системы.
Пример: 

Решение:

Ответ: (1;2).
2. Метод алгебраического сложения.

Заключается в том, что нужно получить противоположные коэффициенты при одной из переменных уравнения и сложить уравнения, при этом избавившись от одной переменной. Таким образом, решение системы сводится к решению линейного уравнения с одной переменной.
Пример: 

Решение: 

Получаем 

Ответ: .
3. Графический метод.

Заключается в построении графиков двух линейных функций. Если прямые пересеклись – координаты точки пересечения будут единственным решением системы. Если прямые параллельны или совпали, то система не имеет решений или, соответственно, имеет бесконечно много решений.

Количество решений системы линейных уравнений

Система двух линейных уравнений с графической точки зрения представляет собой две прямые, построенные в системе координат. Две прямые могут пересекаться только в одной точке. Также они могут совпадать или быть параллельными. Очевидно, что система двух линейных уравнений имеет только три варианта решения:
Единственное решение (прямые пересекаются);
Нет решений (прямые параллельны);
Бесконечно много решений (прямые совпали).
Для системы  существует простой способ определить наличие решений:
– если  , то система имеет бесконечное количество решений;
– если  , то система не имеет решений;
– если  , то система имеет одно решение.
Системы уравнений высших степеней
Системы, в которых одно из уравнений линейное, как правило, решаются методом подстановки. Если в системе оба уравнения нелинейные, то применяют также комбинирование уравнений с целью получения нового уравнения, которое можно разложить на простые множители.
Пример: 
Решение: Нужно раскрыть скобки:  Теперь нужно составить новую систему. Первое уравнение получается путем сложения уравнений системы, второе – путем вычитания:  Нужно умножить уравнения системы:  Теперь можно применить способ подстановки: 
Ответ: 5;3. 

Линейные неравенства

Символическая запись, в которой два числа или выражения, содержащие переменные, связаны знаком «больше» (>) или «меньше» (<), называется неравенством. Наряду со строгими неравенствами (а>b) рассматривают и нестрогие неравенства: а≥b.
Свойства неравенств:
1. Если a>b и b>с, то a>с. 
2. Если a>b, то a+с>b+с, с – любое число. 
3. Если a>b и с>d, то a+с>b+d. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. 
4. Если a,b,с,d — положительные числа и a>b,с>d, то aс >bd. Неравенства одинакового смысла можно почленно умножать (с учетом знаков).
5. Если a>b ,с<d, то a-с>b-d. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак первого неравенства.

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения, то есть значения переменной, при которых неравенство истинно, или доказать, что их нет.
Правила решения неравенств:
1) Любое слагаемое неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Пример: ⇔⇔⇔

Системы и совокупности линейных неравенств

Если неравенства объединены в систему, то решением системы будут те значения переменных, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам. Решение системы соответствует пересечению решений всех неравенств.
Если неравенства объединены в совокупность, то решением ее будут те значения переменных, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств совокупности. Решение совокупности соответствует объединению решений всех неравенств.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида >(<;≥;≤)0 называются квадратичными. Здесь a,b,c – любые действительные числа, a≠0. Есть несколько случаев решения квадратичных неравенств:
1)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена отрицательны, вне интервала корней – положительны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;

2)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
3)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента;
4)  ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена положительны, вне интервала корней – отрицательны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;
5) ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
6)  ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента.

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Пример: ≥0
Решение: При решении примера будет сформулирован общий алгоритм решения неравенств методом интервалов. Он относится и к неравенствам с многочленами и к рациональным неравенствам. Чтобы пользоваться указанным алгоритмом, неравенство изначально следует привести к виду, когда по одну сторону некое выражение, а по другую ноль.
1. Найти нули функции: 
2. Определить ОДЗ: 
3. Разбить область значений аргумента на интервалы нулями функции и точками разрыва ОДЗ. Точки, которые будут входить в решение неравенства обозначаются закрашенными, а которые не будут входить – выколотыми.
Точки расставляют по следующему принципу:
– закрашенные точки ставятся для нулей функции, если неравенство нестрогое;
– выколотые точки ставятся для нулей функции, если неравенство было строгое, и для точек разрыва ОДЗ функции.
В нашем случае мы поставим на оси координат выколотые точки для x=-0,4 и x=1, а закрашенные для x=1,5 и x=-3.
4. Определить знак функции на каждом интервале. 
Для определения знаков есть два способа: 
– брать на каждом интервале пробную точку, подставлять ее в функцию и определять знак – такой знак функция будет сохранять на всем интервале; 
– с помощью пробной точки определить знак на крайнем правом интервале, а далее чередовать знаки при переходе через точки нулей функции и разрывов ОДЗ. Такой подход верен только при отсутствии множителей в четных степенях и модулей в неравенстве. Следует знать, что если какой-то множитель имеет четную степень, например, функция содержит множитель , то при переходе через точку x=2 знак функции сохраняется.
Для обозначения знаков промежутков удобно изображать характерную «змейку», которая рисуется над осью координат для положительных значений и под осью для отрицательных значений функции.
В нашем случае проверим, к примеру, знак функции в точке 10 для простоты расчетов: – функция на крайнем правом интервале отрицательна.
Далее на каждом из интервалов просто чередуем знаки функции, т.к. нет множителей в четных степенях и модулей.

5. Выписать в ответ объединение промежутков, которые соответствуют знаку неравенства, т.е. если в неравенстве интересуют значения больше нуля, то выписать промежутки с положительными значениями, и аналогично для других вариантов. Здесь важно помнить о том, что выколотые точки не входят в решение неравенства, а закрашенные точки входят. 
Ответ: x∈[-3; -0,4)∪(1;1,5].

Неравенства с модулем
При решении модульных неравенств необходимо учитывать условия раскрывания модулей, а в остальном они решаются как обычные неравенства.
Пример: решить неравенство:.
Решение:

Ответ: x∈(-∞;1/3).