Онлайн-урок №7 "Рациональные уравнения. Уравнения высших степеней"

Понятие ОДЗ

Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение. 
В частности знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому значения переменных, при которых знаменатель равен нулю, недопустимы – не входят в ОДЗ
Пример: найти ОДЗ выражения . 
Решение: знаменатели обеих дробей не могут быть равны нулю, имеем систему:

Ответ: x≠±3.

Решение уравнений вида 

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю, а остальные при этом существуют. Поэтому уравнение вида  заменяется совокупностью уравнений:

Пример: решить уравнение .
Решение: 
Ответ: -2,5;1.

Решение уравнений вида 

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Поэтому уравнения вида  заменяются совокупностью: 
Пример: решить уравнение .
Решение: 

Корни квадратных уравнений определяем по теореме Виета: . 
Ответ: 3.

Уравнения высших степеней. Метод замены переменных

Если в уравнении содержится переменная, степень которой выше 2, то такое уравнение называется уравнением высшей степени. Для решения уравнений высших степеней существует несколько наиболее распространенных методов:
1) Метод замены переменных;
2) Подбора корней;
3) Разложения на множители.
Метод замены переменных
Пример: решить уравнение 
Решение: очевидна замена переменных: . 
Получается уравнение: . Согласно теореме Виета его корни:

В исходных переменных:
Ответ: ±1; ±3.

Пример: решить уравнение . 
Решение: нужно сгруппировать крайние и средние скобки:⇔. 
Можно заметить, что удобна замена: , тогда получим уравнение ⇔⇔. Согласно теореме Виета корни уравнения: . 
В исходных переменных:
Дискриминанты уравнений:.

Корни первого уравнения: .

Корни второго уравнения: .
Ответ: .
Замечание: метод подбора корней интуитивно понятен, а метод разложения на множители не требует примеров, т.к. разложение выражений на множители и решение уравнений вида  уже изучалось.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида  называется биквадратным. Такие уравнения решаются приведением к квадратному уравнению с помощью замены вида .
Пример: решить уравнение. 
Решение: согласно правилу выполним замену , тогда: . 
В исходных переменных: . Первое уравнение не имеет смысла, второе уравнение имеет два корня .
Ответ: .