Онлайн-урок №3 "Формулы сокращённого умножения. Дробные рациональные выражения"

Формулы сокращенного умножения

Очень часто при разложении многочленов на множители применяются формулы сокращенного умножения. Вот наиболее важные из них:

Сокращение рациональных дробей

Дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, называется рациональной. 
Чтобы сократить рациональную дробь, нужно ее числитель и знаменатель разложить на множители. При сокращении следует учитывать, что на ноль делить нельзя, поэтому нужно накладывать ограничения на значения переменных. 
ОДЗ – область допустимых значений – это все те значения, которые могут принимать переменные, входящие в выражение, и при которых данное выражение имеет смысл. 
Пример: сократить дробь

.

Действия с рациональными дробями

Все действия с рациональными дробями выполняются аналогично обыкновенным дробям, т.е. рациональные дроби точно так же можно складывать, вычитать, умножать, делить и возводить в степень. 
Для сложения/вычитания рациональных дробей их нужно привести к общему знаменателю – для этого знаменатели исходных дробей нужно разложить на множители.
Пример: вычесть дроби

.
Решение: 

Ответ:

 .
Умножать и делить можно любые рациональные дроби, правила такие же, как для обыкновенных дробей:

при этом вместо  могут стоять любые многочлены. После того, как дроби записаны под общей дробной чертой, все многочлены нужно разложить на множители и максимально сократить.
Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в степень и ее числитель, и знаменатель. 
Пример:

.
Тождественные преобразования с дробями
Пример: упростить . 
Решение:
1) Нужно привести дроби в скобках к общему знаменателю и выполнить действия. Числитель и знаменатель второй дроби домножим на (-1), чтобы все множители знаменателей стали однотипными: 

2) Выполним умножение:

3) Выполним сложение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

Ответ: 

Пример: упростить

Решение: 
1) Выполним сложение в скобках, для этого приведем дроби к общему знаменателю: 

2) Умножим дроби:

Ответ: .

Доказательство тождеств

Пример: доказать тождество

. 
Доказательство: разложим все многочлены в левой части на множители:

Тождество доказано.